Вправи: 617

617. Усередині кута А з градусною мірою 60° позначено точку М на відстанях а і b від сторін кута. Знайдіть відстань АМ.

За даними малюнка знайти АМ.

Розв’язання

Оскільки ∠С + ∠К = 180°, то гострокутник АСМК – вписаний в коло з діаметром АМ. Нехай радіус кола дорівнює R.

∠СОК = 2 • ∠А = 2 • 60° = 120° – як центральний кут.

За теоремою косинусів з ∆СОК:

CK² = CO² + OK² – 2 • CO • OK • cos∠COK = R² + R² – 2 • R • R •

• cos120° = 2R² – 2R² • cos(180° – 60°) = 2R² + 2R² • cos60° = 2R² +

+ 2R² • 12 = 2R² + R² = 3R².

За властивістю вписаного чотирикутника: ∠СМК = 180° – ∠А = 180° –

– 60° = 120°.

За теоремою косинусів з ∆СМК:

CK² = CM² + MK² – 2 • CM • MK • cos∠CMK = a² + b² – 2ab • cos120° =

= a² + b² – 2ab • cos(180° – 60°) = a² + b² + 2ab • cos60° = a² + b² +

+ 2ab • 12 = a² + b² + ab.

Прирівняємо праві частини одержаних рівностей:

3R² = a² + b² + ab| • 3

9R² = 3(a² + b² + ab)

3R = 3(a2+b2+ab)

R = 3(a2+b2+ ab)3

OM = 2R = 23(a2+b2+ ab)3

Відповідь: 23(a2+b2+ ab)3.