Вправи: 620

620. Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють а і b

(а > b), а прилеглі до основи а кути — α і β.

Нехай із трапеції ABCD (BC ∥ AD) BC = b,

AD = a, ∠A = α, ∠D = β, a > b.

Проведемо висоти ВН і CN.

Позначимо АН за х (х > 0).

Тоді ND = AD – HN – AH, HN = BC = b;

ND = a – b – x.

Із ∆АВН (∠ВНА = 90°) ВН = АН tg∠A, BH = xtg α;

із ∆CND = 90°) CN = ND tg∠D, CN = (a – b – x)tg β.

Оскільки BH = CN, то xtg α = (a – b – x)tg β,

xtgα + xtgβ = (a – b)tg β,

x = a-btgβtgα+tgβ. Тоді ВН = a-btgβtgα+tgβ • tgα = a-btgα tgβtgα+tgβ.

S_ABCD = BC+AD2 • BH, S_ABCD = a+b2 • a-btgα tgβtgα+tgβ = a2- b2tgα tgβ2(tgα+tgβ).

Відповідь: a2- b2tgα tgβ2(tgα+tgβ).