Вправи: 609

609. Визначте сторони трикутника, якщо середня за довжиною сторона відрізняється від кожної з двох інших на 1 см, а проекція більшої сторони на середню дорівнює 9 см.

Нехай у ∆АВС AB < AC < BC i AC = AB + 1 =

= BC – 1, BK ⊥ AC i KC = 9 см (К ∈ АС). Позначимо АВ – (х – 1) см, АС – х см,

ВС – (х + 1) см (х > 1).

Із ∆ВКС (∠ВКС = 90°) ВК² = ВС² – КС²,

ВК² = (х + 1)² – 9², ВК² = х² + 2х – 80;

із ∆ВКА (∠ВКА = 90°) ВК² = АВ² – АК², ВК² = (х – 1)² – (х – 9)²,

ВК² = х² – 2х + 1 – х² + 18х – 81 = 16х – 80.

Тоді х² + 2х – 80 = 16х – 80, х² – 14х = 0, х(х – 14) = 0, звідки

х = 14. Отже, маємо АС = 14 см, АВ = 13 см, ВС = 15 см.

Відповідь: 14 см, 13 см, 15 см.