Вправи: 608

608. Знайдіть бісектриси трикутника АВС, якщо.

Нехай у трикутнику ABC AM, BL, CN – бісектриси.

1) якщо AC = 7 см, ∠A = 60°, ∠C = 40°, тоді ∠B = 180° – (60° + 40°) = 80°, ∠MAC = 12 ∠A, ∠MAC = 12 • 60° = 30°, ∠AMC = 180° –

– (∠MAC + ∠C), ∠AMC = 180° – (30° + 40°) = 110°.

Із ∆AMC AMsin∠C = ACsin∠AMC, AM = AC• sin∠Csin∠AMC, AM = 7• sin40°sin110° ≈

≈ 7•0,64280,9397 ≈ 4,8;

∠NCA = 12 ∠A, ∠NCA = 12 • 40° = 20°, ∠ANC = 180° – (∠A + ∠NCA),

∠ANC = 180° – (60° + 20°) = 100°;

Із ∆ANC NCsin∠A = ACsin∠ANC, NC = AC• sin∠Asin∠ANC, NC = 7• sin60°sin100° ≈

≈ 7•0,8660,9848 ≈ 6,2.

Із ∆ABC ABsin∠C = ACsin∠B, AB = AC• sin∠Csin∠B, AB = 7• sin40°sin80° ≈

≈ 7•0,64280,9848 ≈ 4,6;

∠ABL = 12 ∠B, ∠ABL = 12 • 80° = 40°, ∠ALB = 180° – (∠A + ∠ABL),

∠ALB = 180° – (40° + 60°) = 80°;

Із ∆ABL BLsin∠A = ABsin∠ALB, BL = AB• sin∠Asin∠ALB, BL ≈ 4,6• 0,866sin80° ≈

≈ 4,6•0,8660,9848 ≈ 4.

Відповідь: АМ ≈ 4,8, NC ≈ 6,2, BL ≈ 4.

2) якщо BC = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 70°, тоді ∠A = 18° – (45° + 70°) =

= 65°, ∠LBC = 12 ∠B, ∠LBC = 12 • 45° = 22°30’, ∠BLC = 180° –

– (22°30’ + 70°) = 87°30’.

Із ∆BLC BLsin∠C = BCsin∠BLC, BL = 5 •sin70°sin87°30' ≈ 5• 0,93970,999 =4,7,

∠BCN = 12∠C, ∠BCN = 12 • 70° = 35°, ∠BNC= 180° – (35° + 45°) = 100°.

Із ∆BNC NCsin∠B = BCsin∠BNC, NC = 5• sin45°sin100° ≈ 5• 0,70710,9848 ≈ 3,6.

Із ∆ABC ABsin∠C = BCsin∠A, AB = BC• sin∠Csin∠A, 5• sin70°sin65° ≈ 5• 0,93970,9063 ≈ 5,2.

Із ∆ABM ∠BAM = 12∠A, ∠BAM = 12 • 65° = 32°30’, тоді

∠АМВ = 180° – (32°30’ + 45°) = 102°30’ і ABsin∠AMB = AMsin∠B,

AM = AB •sin∠Bsin∠AMB, AM = 5,2 •sin45°sin102°30' ≈ 5,2 •0,70710,9763 ≈ 3,8.

Відповідь: BL ≈ 4,7, NC ≈ 3,6, AM ≈ 3,8.