Вправи: 587

587. У колі з центром O хорда AB паралельна діаметру CD (мал. 154). На діаметрі або його продовженні позначено довільну точку M.

Доведіть, що сума AM² + BM² не залежить від положення хорди

при заданому положенні точки M.

Доведіть що сума АМ² ≠BM² не залежить від положення хорди при заданому положенні точки М.

Доведення.

Нехай ∠ВОМ = α, тоді ∠АОМ = 180° – α.

OA = OB = R.

За теоремою косинусів з ∆АОМ:

AM² = OM² + OA² – 2 • OM • OA • cos ∠AOM =

= OM² + R² – 2OM • R • cos(180° – α) = ОМ² +

+ R² + 2OM • R • cos α.

За теоремою косинусів з ∆ВОМ:

BM² = OM² + OB² – 2 • OM • OB • cos∠BOM = OM² + R² – 2 • OM •

• R • cos α.

Додамо почленно одержані рівності:

АМ² + BM² = 2OМ² + 2R².

Отже, AM² + BM² не залежить від положення хорди. Доведено.