Вправи: 584

584. Сторона трикутника дорівнює 26 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, дорівнюють 15 см і 30 см. Знайдіть третю медіану

трикутника.

Нехай у ∆ABC BC = 26 см, медіана CL = 30 см,

BM = 15 см, О – точка перетину цих медіан. Проведемо медіану AK, вона пройде через т. О, оскільки медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Тоді ОС = 20 см, OL =

= 10 см, BO = 10 см, OM = 5 см. Оскільки У – середина BC, то

BK = 13 см.

Із ∆BOC cos∠OBC = BO2+BC2-OC22BO• BC,

cos∠OBC = 102+262-2022•10•26 = 100+676-400520 = 376520 = 3765;

Із ∆BOK OK² = BO² + BK² – 2BO • BK • cos∠OBK,

OK² = 10² + 13² – 2 • 10 • 13 • 3765 = 100 + 169 – 148 = 121,

ОК = 11 см. AK = 3 • ОК, AK = 33 см.

Відповідь: 33 см.