Вправи: 582

582. Доведіть, що медіану трикутника можна обчислити за формулою.

Нехай у ∆ABC (AC = b, AB = c, BC = a) проведено медіану AM = m_a,

Тоді MC = MB = a2.

Із ∆ABC sin∠C = a2+b2-c22ab

Із ∆MCA MA² = MC² + AC² – 2MC • AC • cos∠C,

ma2 = (a2)² + b² – 2 • a2 • b • a2+b2-c22ab = a24 + b² – a2+b2-c22 =

= a2+4b2-2a2-2b2+2c24 = 2b2+2c2-a24, тоді m_a = 2b2+2c2-a24 =

= 12 2b2+2c2-a2.

Отже, m^a = 12 2b2+2c2-a2, що й треба було довести.