Вправи: 586

586. До даного кола радіуса R дотикаються два рівні менші кола радіуса r: одне — зсередини, друге — зовні. Дуга між точками дотику містить 60°. Знайдіть відстань між центрами менших кіл.

Нехай до кола з центром О радіус R дотикаються кола з радіусом r (r < R) з центром O₁ – зсередини, з центром О₂ – зовні. Відповідні точки дотику з більшим колам А і B, OA = R = OB, AO₂ = BO₂ = r.

∪AB = 60°, тоді центральний кут ∠АОВ = 60°.

OO₂ = OB = BO₂, OO₂ = R + r;

OO₁ = OA – O₁A, OO₁ = R – r.

У ∆OO₁O₂: O₁O22 = OO22 + OO12 – 2OO₂ • OO₁ • cos∠O,

O₁O22 = (R + r)² + (R – r)² – 2 • (R + r)(R – r)cos 60°,

O₁O22 = R² + 2Rr + r² + R² – 2Rr + r² – 2(R² – r²) • 12 = 2R² + 2r² –

– R² + r² = R² + 3r².

O₁O₂ = R2+3r2

Відповідь: R2+3r2.