Вправи: 577

577. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Нехай у паралелограмі ABCD AB = a, AD = b, ∠A = α, BD = d₁,

AC = d₂, тоді ∠D = 180° – α. Із ∆ABD маємо:

d12 = a² + b² – 2ab cos α;

із ∆ACD d22 = a² + b² – 2ab cos(180° – α),

d22 = a² + b² + 2ab cos α. Знайдемо

d12 + d22 = a² + b² – 2ab cos α + a² + b² + 2ab cos α;

d12 + d22 = 2a² + 2b². Отже, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Що й треба було довести.