Вправи: 572

572. Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють: AC = 4 см,

BC = 3 см. На катеті BC побудовано рівносторонній трикутник BCD.

Знайдіть довжину відрізка AD (розгляньте два випадки).

І випадок. Добудуємо на катеті BC рівносторонній ∆BCD зовні ∆BCA.

Якщо AC = 4 см, BC = 3 см, то DC = BC = 3 см. Кути ∆BDC дорівнюють 60°, ∠DCB = 60°.

За умовою ∠BCA = 90°, тоді ∠DCA = 90° + 60° = 150°.

Із ∆DCA DA² = DC² + CA2 – 2DC • CA cos ∠DCA,

DA² = 3² + 4² – 2 • 3 • 4 • cos 150°,

DA² = 25 – 24 • cos (90° + 60°) = 25 + 24 • sin 60° = 25 + 24 • 32 =

= 25 + 123; DA = 25+123 см.

ІІ випадок. добудуємо на катеті BC рівносторонній ∆BD₁C всередині ∆BCA. D₁C = BC = 3 см, ∠BCD₁ = 60°, тоді ∠D₁CA = 90° – 60° = 30°.

Із ∆D₁CA D₁A² = D₁C² + CA² – 2D₁C • CA • cos ∠D₁CA, D₁A² = 3² +

+ 4² – 2 • 3 • 4 cos 30°, D₁A² = 25 – 24 • 32 = 25 – 123,

D₁A = 25-123 см.

Відповідь: 25+123 см або 25-123 см.