Вправи: 570

570. У паралелограмі ABCD AB = 6 см, AD = 10 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо кут A дорівнює: 1) 60°; 2) 48°; 3) 125°.

Із ∆ABD за теоремою косинусів маємо:

BD² = AB² + AD² – 2AB • AD • cos ∠A,

BD² = 36 + 100 – 2 • 6 • 10 cos ∠A,

BD² = 136 – 120 cos ∠A.

У ∆ACD ∠D = 180° – ∠A (кут при одній стороні паралелограма). Тоді

AC² = AD² + CD² – 2AD • CD • cos ∠D,

AC² = AD² + CD² – 2AD • CD • cos(180° – ∠A),

AC² = AD² + CD² + 2AD • CD • cos ∠A.

Отже, AC² = 100 + 36 + 2 • 10 • 6 cos ∠A, AC² = 136 + 120 cos ∠A.

1) Якщо ∠A = 60°, то BD² = 136 – 120 cos 60° = 136 – 120 • 12 = 76;

BD = 219 см,

AC² = 136 + 120 cos 60°, AC² = 136 + 120 • 12 = 196, AC = 14 см;

2) якщо ∠A = 48°, то BD² = 136 – 120 • cos 48°, BD² ≈ 136 – 120 •

• 0,6691 ≈ 55,7, BD ≈ 7,5 см. AC² ≈ 136 + 120 • 0,6691 ≈ 216,3,

AC ≈ 14,7 см;

3) якщо ∠A = 125, то BD² = 136 – 120 • cos 125°,

BD² ≈ 136 – 120 • (–0,5736) ≈ 136 – 120 • cos 125°,

AC² = 136 + 120 • (–0,5736) = 136 – 68,832 = 67,168, AC ≈ 8,2 см.

Відповідь: 1) 219 см і 14 см; 2) 7,5 см і 14,7 см; 3) 14,3 см і 8,2 см.