Вправи: 539

539. Доведіть, що медіана трикутника ділить кут при вершині на частини, синуси яких пропорційні до синусів відповідних кутів при

основі.

Доведення. Нехай у ∆АВС ВМ – медіана,

АМ = МС. Позначимо

∠АВМ = α, ∠СВМ = β, ∠ВАМ = х, ∠ВСМ = у.

За теоремою синусів: із ∆АВМ: АМsinα = BMsinx; із ∆BMC: MCsinβ = BMsiny. Тоді sin α = AMsinxBM, sinβ = MC •sinyBM, а відношення sin α : sin β = AMsinxBM : MCsinyBM, sinα : sinβ = AMsinxBM :

: MCsinyBM, sin α : sin β = AMsinxBM • BMMCsiny.

Оскільки АМ = МС, то sin α : sin β = sin x : sin y, тобто синуси кутів, на які медівна розбиває кут при вершині, пропорційні до синусів відповідних кутів при основі. Що й треба було довести.