Вправи: 541

541. Через точку K хорди AB кола проведено пряму, яка перетинає

в точках C і D дотичні до кола, що проходять через точки A і B

(мал. 144). Доведіть, що AC · KD = BD · KC.

Доведення. Нехай точка перетину дотичних S, тоді SA = SB (відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки), ∆ASB – рівнобедрений, тоді ∠SAB = ∠SBA. ∠KBP = 180° – ∠SBA = 180° – ∠SAB

(сума суміжних кутів 180°). ∠СКА = ∠BKD (вертикальні).

За теоремою синусів: із ∆САК: ACsin∠CKA = KCsin∠CAK, звідки

AC = KC sin∠CKAsin∠CAK; із ∆KBD: BDsin∠BKD = KDsin∠KBD, KD = BD sin∠KBDsin∠BKD або KD = BDsin∠CAKsin∠CKA.

Знайдемо AC • KD = KCsin∠CKAsin∠CAK • BDsin∠CAKsin∠CKA = KC • BD.

Отже, AC • KD = KC • BD, що й треба було довести.