Вправи: 544

544. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут при вершині — α. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центр вписаного в цей трикутник кола та кінці основи.

Нехай задано ∆АВС, у якого АВ = ВС, ∠АВС = α,

АС = а, О – центр вписаного кола (центр вписаного в рівнобедрений трикутник кола лежить на медіані (бісектрисі), проведеній до основи (О ∈ ВМ). Якщо через т. О і точки А і С проходить коло, то ВА і ВС – дотичні до цього кола у точках А і С відповідно. Тоді центр цього кола лежить у точці О₁ перетину продовження ВМ і перпендикуляра, проведеного через т.А до АВ, О₁А = ОО₁, О₁А ⊥ АВ.

У ∆АВМ (∠АМВ = 90°) ∠АВМ = α2, АМ = а2. Тоді АВ = АМsin∠ABM,

AB = a2sinα2 = a2 sinα2. У ∆АВО₁ (∠ВАО₁ = 90°) АО₁ = АВ tg ∠ABO₁,

AO₁ = a •tgα22sinα2 = asinα2cosα22sinα2 = asinα22sinα2 cosα2 = a2cosα2.

Отже, радіус кола з центром О₁ дорівнює a2cosα2.

Відповідь: a2cosα2.