Вправи: 547

547. O — точка перетину діагоналей описаного чотирикутника ABCD. Доведіть, що сума радіусів кіл, описаних навколо трикутників AOB і COD, дорівнює сумі радіусів кіл, описаних навколо трикутників

BOC і AOD.

Якщо чотирикутник ABCD описаний, то

AB + CD = BC + AD.

Нехай R₁, R₂, R₃, R₄ – радіуси кіл, описаних відповідно навколо ∆AOB, ∆COD, ∆BOC, ∆AOD. Позначимо ∠АОВ = α.

За наслідком із теореми синусів: із ∆АОВ

R₁ = AB2sinα; із ∆COD: R₂ = CD2sinα

(∠COD = ∠BOA як вертикальні);

із ∆ВОС: R₃ = BC2 sin⁡(180°- α) = BC2sinα (∠BOC – суміжний з ∠АОВ);

із ∆AOD: R₄ = AD2sinα. Тоді R₁ + R₂ = AB2sinα + CD2sinα = AB+CD2sinα;

R₃ + R₄ = BC2sinα + AD2sinα = BC+AD2sinα.

Оскільки AB + CD = BC + AD, то R₁ + R₂ = R₃ + R₄. Що й треба було довести.