Вправи: 546

546. Точка D лежить на стороні AC трикутника ABC. Доведіть, що

відношення радіусів кіл, описаних навколо трикутників ABD і DBC,

не залежить від вибору точки D.

Нехай у ∆АВС на АС довільно обрано точку D. За наслідком з теореми синусів радіус R₁ кола, описаного навколо ∆ABD, такий, що 2R₁ = BDsinA; радіус R₂ кола, описаного навколо ∆BDC, такий, що

2R₂ = BDsinC. Їх відношення 2R12R2 = BDsinA : BDsinC; R1R2 = sinCsinA, а отже, залежить лише від кутів А і С і не залежить від вибору точки D. Що й треба було довести.