Вправи
Вправи: 540
Готова відповідь до завдання 540 з ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда 2017.
Геометрія, 9 клас · Вправи
Текстова відповідь
540. Скориставшись теоремою синусів, доведіть, що медіани AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC точкою O їх перетину діляться у відношенні
2 : 1, починаючи від вершини.
Доведіть за теоремою синусів, що медіани трикутника точкою їх перетину діляться у відношенні 2 : 1.
Доведення
Доведемо, що медіана СС1 проходить через точку О, яка ділить медіану ВВ1 у відношенні
2 : 1, починаючи від вершини.
Застосуємо теоремою синусів до ∆ВАА1С ∆С1АС.
∆ВАА1 : АВsin1 = AA1sinB; ∆C1AC: AC1sin2 = CC1sinA.
Застосуємо теорему синусів до ∆ВОА1 і ∆ОВ1С.
∆ВОА1 : ВОsin1 = OA1sinOBA1; ∆OB1C: OB1sin2 = COsinOB1C.
Поділимо почленно ліві частини одержаних рівностей: АВВО = АС1ОВ1.
Оскільки АВ = 2АС1, то маємо 2АС1ВО = АС1ОВ1; ВО : ОВ1 = 2 : 1.
Доведено.