Вправи: 537

537. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють a і b

(a > b), а прилеглі до основи a кути — α і β.

Нехай у трапеції ABCD AD = a, BC = b, ∠A = α, ∠D = β. Проведемо висоти BR і CN, BR ⊥ AD, CN ⊥ AD, KN = BC = b.

Із ∆ABK (∠AKB = 90°) BK = AK tg ∠A, BK = AK tg α.

У ∆CND (∠CND = 90°) ND = AD – AK – KN,

ND = a – b – AK; CN = ND tg ∠D,

CN = (a – b – AK) tg β.

Оскільки BK = CN (висоти трапеції), то

AK tg α = (a – b – AK) tg β, AK tg α = a tg β –

– b tg β – AK tg β,

AK tg α + AK tg β = a tg β – b tg β, AK(tg α + tg β) = (a – b) tg β, AK = (a- b)tgβtgα+ tgβ.

Тоді ВК = a- btgβ• tgαtgα+ tgβ.

S_ABCD = AD+ BC2 • BK, S_ABCD = a+ b2 • (a- b)tgαtgβtgα+ tgβ = (a2- b2)tgαtgβ2(tgα+tgβ).

Відповідь: (a2- b2)tgαtgβ2(tgα+tgβ).