Вправи: 538

538. Виведіть формули для обчислення довжин відрізків, на які бісектриси кутів трикутника ABC ділять його протилежні сторони.

Доведення. Нехай у ∆ABC BL – бісектриса

∠B = α, тоді ∠ABL = ∠CBL = α2.

Нехай ∠ALB = β, тоді ∠CBL = 180° – β (як суміжний для ∠ALB). За теоремою синусів із ∆ABL: ALsinα2 = ABsinβ;

із ∆CBL: LCsinα2 = BCsi (180°- β), LCsinα2 = BCsinβ.

AL = ABsinα2sinβ, LC = BC sinα2sinβ, а відношення AL : LC = AB sinα2sinβ : BC sinα2sinβ, AL : LC = AB sinα2sinβ • sinβBCsinα2, AL : LC = AB : BC, тобто відрізки AL і LC пропорційні прилеглим сторонам. Що й треба було довести.