Вправи: 523

523. У прямокутному трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено медіану CM. ∠ACM > 45°. Який катет більший: AC чи BC?

У ∆ABC AD ⊥ BC, ∠BAC = 45°, ∠BCA = 30°, AD =

= 3 см. Із ∆ADC (∠ADC = 90°).

AC = ADsin∠DCA, AC = 3 смsin30° = 3 см12 = 6 см.

У ∆АВС ∠ABC = 180° – (∠BAC + ∠BCA), ∠ABC =

=180° – (45° + 30°) = 180° – 75' = 105°.

За теоремою синусів ACsin∠ABC = ABsin∠BCA = BCsin∠BAC.

Із рівності ACsin∠ABC = ABsin∠BCA маємо: АВ = AC•sin∠BCAsin∠ABC,

АВ = 6 см•sin30°sin105° = 6 см• 12sin(90°+15°) = 3 смcos15° ≈ 3 см0,9659 ≈ 3,1 см

Із рівності ACsin∠ABC = BCsin∠BAC маємо ВС = AC• sin∠BACsin∠ABC,

ВС = 6 см• sin45°sin105° ≈ 6 см• 220,9659 ≈ 4,4 см.

Відповідь: 3,1 см; 4,4 см.