Вправи: 522

522. У прямокутному трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено медіану CM. ∠ACM > 45°. Який катет більший: AC чи BC?

Скористайтесь рис. до задачі 521. Нехай діагональ BD = d, ∠ADB =

= α, ∠CDB = β. Знайдемо DC і BC.

∠CBD = ∠ADB = α. Розглянемо ∆BCD: ∠CBD = α, ∠CDB = β, тоді ∠C = 180° – (∠CBD + ∠CDB), ∠C = 180° – (α + β). За теоремою синусів BDsin∠C= BCsin∠CDB = DCsin∠CBD. Із рівності BDsin∠C = BCsin∠CDB маємо:

BC = BD• sin∠CDBsin∠C, BC = dsinβsin(180°-α+ β) = dsinβsin(α+ β).

Із рівності BDsin∠C = DCsin∠CBD маємо: DC = BD•sin∠CBDsin∠C, DC =

= dsiαsin(α+ β).

Відповідь: dsinβsin(α+ β), dsiαsin(α+ β).