Вправи: 374

374. Якщо в трикутнику АВС проведено медіани AA₁, BB₁ і CC₁, то

AA1 + BB1 + CC1 = 0. Доведіть.

Дано: ∆АВС;

АА₁, ВВ₁, СС₁ – медіани.

Довести: АА1 + ВВ1 + СС1= 0

Доведення

АА1 = АС + 12 СА1;

ВВ1 = ВА + 12 АВ1;

СС1 = СВ + 12 ВС1.

АА1 = ВВ1 + СС1 = АС + 12 СА1 + ВА + 12 АВ1 + СВ + 12 ВС1 =

= (АС + СВ + ВА) + 12 (СА1 + АВ1 + ВС1) = (АВ + ВА) + 12 (А1В +

+ В1С + С1А1) = 0 + 12 (А1С1 + С1А1) = 0 + 12 • = 0.

Доведено.