Вправи: 377

377. Медіани трикутників АВС і А₁В₁С₁ перетинаються відповідно в точках О і О₁. Доведіть, що АА1 + ВВ1+ СС1= 3ОО1.

Дано: ∆АВС;

ОО₁ – точки перетину медіан.

Довести: АА1 + ВВ1 + СС1 = 3ОО1.

Доведення

За ключовою задачею 375 маємо:

ОА + ОВ + ОС та О1А1 + О1В1 + О1С1 = 0.

За правилом ∆ – запишемо;

ОО1 = ОА + АО1;

ОО1 = ОВ + ВО1;

ОО1 = ОС + СО1;

Додавши ліві і праві частини одержаних рівностей маємо:

3ОО1 = ОА + ОВ = ОС + (ОА1 + ВО1 + СО1) + О + (ОА1 + ВО1 +

+ СО1) = АО1 + ВО1 + СО1 = (АА1 – О1А1) + (ВВ1 – О1В1) + (СС1 –

– О1С1) = АА1 + ВВ1 + СС1 – (О1А1 + О1В1 + О1С1) = АА1 + ВВ1 +

+ СС1 – О = АА1 + ВВ1 + СС1

Отже, АА1 + ВВ1 + СС1 = 3ОО1. Доведено.