Вправи: 1080

1080. Доведіть, що діагоналі прямокутника рівні.

Нехай задано прямокутник ABCD. Введемо бази з площини

AB і AD. AB – AD = DB, DC – DA = AC. Оскільки DC = AB, DA = –AD, то AB + AD =

= AC і DB = DC + DA = AB – AD. Знайдемо

|AC|² = AC² = (AB + AD)² = |AB|² + 2 AB •

• AD + |AD|².

Оскільки AB AD, то AB • AD = 0.

Тоді |AC|² = |AB|² = |AD|².

Аналогічно |DB|² = (AB – AD)² = |AB|² – 2AB • AD + |AD|², звідки |DB|² = |AB|² + |AD|², отже, |AC|² = |DB|² і |AC| = |DB|.

Діагоналі прямокутника рівні, що й треба було довести.