Вправи: 1077

1077. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в серединах сторін трапеції — паралелограм.

Нехай у трапеції ABCD M – середина АВ, N – середина АС, K – середина CD, L – середина AD. Введемо базис площини AB і AD, AB – AD = DB, AM – AL = LM. Оскільки AM = 12 AB, AL = 12 AD, то

LM = 12 DB.

Аналогічно доводимо, що NK = 12 DB.

Тоді LM = NK, отже, LM і NK колінеарні і |LM| = |NK|; відрізки LM і NK паралельні і рівні, тоді MNKL – паралелограм. Що й треба було довести.