Відповіді на вправи
Відповіді на вправи: 1.25
Готова відповідь до завдання 1.25 з ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк 2026.
Алгебра, 9 клас · Відповіді на вправи
Текстова відповідь
1.25. Доведіть нерівність:
1) а2 + b2 + 6а – 4b + 13 = (а2 + 6а + 9) + (b2 – 4b + 4) = (а + З)2 + (b – 2)2. Оскільки (а + З)2 ≥ 0 і (b – 2)2 ≥ 0 при всіх значеннях
а і b, то (а + З)2 + (b – 2)2 ≥ 0. Отже, а2 + b2 + 6а – 4b + 13 ≥ 0 при всіх значеннях а і b, що й треба було довести.
2) x2 – 2x + у2 + 10у + 28 = (х2 – 2х + 1) + (у2 + 10y + 25) + 2 = (x – 1)2 + (у + 5)2 + 2.
Оскільки (x – 1)2 ≥ 0 і (у + 5)2 ≥ 0 і 2 > 0, то (х – 1)2 + (у + 5)2 + 2 > 0 при всіх значеннях х і у. Отже, х2 – 2х + у2 + 10y + 28 > 0, що
й треба було довести.
3) а2 + b2 + с2 + 12 – 4 (а + b + с) = а2 + b2 + с2 + 12 – 4а – 4b – 4с = (а2 – 4а + 4) + (b2 – 4b + 4) + (с2 – 4с + 4) = (а – 2)2 + (b – 2)2 + (с – 2)2. Оскільки (а – 2)2 ≥ 0, (b – 2)2 ≥ 0, (с – 2)2 ≥ 0, то (а – 2)2 + (b – 2)2 + (с – 2)2 ≥ 0 при всіх значеннях а, b і с. Отже, а2 + b2 + с2 + 12 ≥ 4(а + b + с) при всіх значеннях a, b і с, що й треба було довести.
4) а2b2 + а2 + b2 + 1 – 4аb = (а2b2 – 2аb + 1) + (а2 + b2 – 2аb) = (аb – 1)2 + (а – b)2. Оскільки (аb – 1)2 ≥ 0, (а – b)2 ≥ 0 при всіх значеннях а і b, то (аb – 1)2 + (а – b)2 ≥ 0 при всіх значеннях а і b. Отже, а2b2 + а2 + b2 + 1 – 4аb ≥ 0 при всіх значеннях а і b, що й треба було довести.