Відповіді на вправи: 1.26

1.26. Доведіть нерівність:

1) а² + b² – 16а + 14b + 114 = (а² – 16а + 64) + (b² + 14b + 49) + 1 = (а – 8)² + (b + 7)² + 1. Оскільки (а – 8)2 ≥ 0, (b + 7)2 ≥ 0,

1 > 0, то (а – 8)2 + (b + 7)2 + 1 > 0 при всіх значеннях а і b. Отже,

а² + b² – 16а + 14b + 114 > 0 при всіх значеннях а і b, що й треба було довести.

2) (х² + y² + 10) – (6x – 2y) = х² + y² + 10 – 6х + 2у = (х² – 6х + 9) + (у² + 2у + 1) = (х – 3)² + (у + 1)² ≥ 0 при всіх значеннях х і у. Отже, (х² + у² + 10) – (6х – 2y) ≥ 0, тобто (х² + y² + 10) ≥ 6х – 2y при всіх значеннях х і у , що й треба було довести.