Відповіді на вправи: 1.24

1.24. Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною не–

рівність:

1) а2а4+ 1 – 12 = 2а2- (а4+ 1)2(а4+ 1) = 2а2- а4- 12(а4+ 1) = –а4- 2а2+ 12(а4+ 1) = –(а2- 1)22(а4+ 1).

Оскільки (а² – 1)² ≥ 0, 2(а⁴ + 1) > 0 при будь–якому а, то –(а2- 1)22(а4+ 1 ≤ 0. Отже, а2а4+ 1 ≤ 12 при будь–якому а.

2) (5a+1)25 – 4a = (5a+1)2- 20a5 = 25a2+ 10a+1-20a5 = 25a2- 10a+15 = (5a-1)25. Оскільки (5а – 1)² ≥ 0 при будь–якому а, то (5а+1)25 ≥ 0. Отже, (5а+1)25 ≥ 4а при будь–якому значенні змінної а.