Відповіді на вправи: 1.23

1.23. Чи є правильною дана нерівність при будь–яких значеннях

a і b:

1) a2- b2a2+ 1 – 1 = a2- b2- (a2+ 1)a2+ 1 = a2- b2- a2- 1a2+ 1 = -b2- 1a2+ 1 = –b2+1a2+ 1. Оскільки b² + 1 > 0, a² + 1 > 0 при будь–яких значеннях змінних а і b, то –b2+1a2+ 1 < 0. Отже, a2- b2a2+ 1 < 1 при будь–яких значеннях a і b, тобто нерівність 1) не є правильною.

2) a2- b2b2+ 1 – (–1) = a2- b2b2+ 1 + 1 = a2- b2+ b2+ 1b2+ 1 = a2+ 1b2+ 1 > 0.

Отже, а2- b2b2+ 1 > – 1 при будь–яких значеннях а і b, тобто нерівність

2) є правильною.