Відповіді на вправи: 1.28

1.28. Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність а2+ 2а2+ 1 ≥ 2.

Оскільки а² + 1 > 0, то а2+ 1 має зміст при всіх значеннях а. До того ж а2+2 а2+ 1 – 2 = а2+ 2-2а2+ 1а2+ 1 = (1- а2+ 1)2а2+ 1.

Оскільки (1 – а2+ 1)² ≥ 0 і а2+ 1 > 0 при всіх значеннях а, то (1- а2+ 1)2а2+ 1 ≥ 0 при всіх значеннях а. Отже, а2+ 2а2+ 1 – 2 ≥ 0, тобто а2+ 2а2+ 1 ≥ 2 при всіх значеннях а, що й треба було довести.