Відповіді на вправи: 24.84

24.84. Відомо, що нескінченна послідовність a₁, a₂, a₃, ... є арифметичною прогресією з різницею d ≠ 0. Чи є арифметичною

прогресією послідовність.

1) Послідовність –а₂, –а₄, –а₆, –а₈, ... або – (а₁ + d), – (а₁ + 3d), – (а₁ + 5d), –(а₁ + 7d), ... є арифметичною прогресію з різницею –(а₁ + Зd) – (–(а₁ + d)) = –а₁ + Зd + а₁ + d = –2d.

2) Послідовність а₁ + 5, а₂ + 5, а₃ + 5, ... є арифметичною прогресію з різницею d.

3) Послідовність 1 – а₁, 1 – а₂, 1 – а₃, ... або 1 – а₁, 1 – а₁ – d, 1 – a₁ – 2d, ...є арифметичною прогресією з різницею –d.

4) Послідовність $a_1^2$, $a_2^2$, $a_3^2$, ... не є арифметичною прогресією, оскільки різниця між сусідніми членами набуває різних значень.

$a_2^2$ – $a_1^2$ = (a₁ + d)² – $a_1^2$ = $a_1^2$ + 2а₁d + d² – $a_1^2$ = 2а₁d + d²;

$a_3^2$ – $a_2^2$ = (a₁ + 2d)² – (a₁ + d)² = $a_1^2$ + 4а₁d + 4d² – $a_1^2$ – 2а₁d – d² = 2а₁d + Зd².

Таким чином, $a_3^2$ – $a_2^2$ $\ne$ $a_2^2$ – $a_1^2$.

5) Послідовність $\frac{1}{a_1}$; $\frac{1}{a_2}$; $\frac{1}{a_3}$; … не є арифметичною прогресією:

$\frac{1}{a_2}$ – $\frac{1}{a_1}$ = $\frac{1}{a_1+d}$ – $\frac{1}{a_1}$ = $\frac{a_1-a_1-d}{a_1(a_1+d)}$ = $\frac{-d}{a_1(a_1+d)}$;

$\frac{1}{a_3}$ – $\frac{1}{a_2}$ = $\frac{2}{a_1+2d}$ – $\frac{1}{a_1+d}$ = $\frac{a_1+d-a_2-2d}{(a_1+d)(a_1+2d)}$ = $\frac{-d}{(a_1+d)(a_1+2d)}$.

$\frac{1}{a_2}$ – $\frac{1}{a_1}$ $\ne$ $\frac{1}{a_3}$ – $\frac{1}{a_3}$.

6) Послідовність а₁ + а₂, а₂ + а₃, а₃ + а₄, ... є арифметичною прогресією.

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{2}$ = $\frac{a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d}{2}$ = $\frac{{4a}_1+6d}{2}$ = 2а₁ + Зd = а₁ + d + а₁ + 2d = а₂ + а₃.

Її різниця дорівнює а₂ + а₃ – а₂ – а₁ = а₃ – а₁ = 2d.

7) Послідовність а₁ + а₂, а₃ + а₄, а₅ + а₆, ... є арифметичною прогресією.

$\frac{a_1+a_2+a_5+a_6}{2}$ = $\frac{a_1+a_1+d+a_1+4d+a_1+5d}{2}$ = $\frac{{4a}_1+10d}{2}$ = 2а₁ + 5d = а₁ + 2d + а₁ + 3d = а₃ + а₄.

Її різниця дорівнює а₃ + а₄ – а₁ – а₂ = а₁ + 2d + а₁ + 3d – а₁ – а₁ – d = 5d – d = 4d.