Відповіді на вправи: 24.83

24.83. Довжини сторін прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть катети трикутника, якщо його

гіпотенуза дорівнює 4 см.

Нехай a і b — катети прямокутного трикутника, с — гіпотенуза.

Оскільки довжини сторін утворюють арифметичну прогресію, то b = a + d, с = а + 2d = 4. З іншого боку за теоремою Піфагора а² + b² = с², тобто а² + (а + d)² = 4². Маємо систему рівнянь:

а² + (а + d)² = 16, (4 – 2d)² + (a + 4 – 2d)² = 16,

а + 2d = 4; а = 4 – 2d;

16 – 16d + 4d² + 16 – 8d + d² – 16 = 0, 5d² – 24d + 16 = 0,

а = 4 – 2d; а = 4 – 2d.

5d² – 24d + 16 = 0; D = 576 – 320 = 256; d₁ = $\frac{24-16}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = 0,8;

d₁ = $\frac{24+16}{10}$ = 4 – не задовольняє умову.

а₁ = 4 – 2 • 0,8 = 2,4.

Отже a = 2,4, d = 0,8, тоді b = 2,4 + 0,8 = 3,2.

Відповідь: 2,4 см і 3,2 см.