Відповіді на вправи: 18.30

18.30. У правильний трикутник зі стороною a послідовно вписано трикутники так, що вершини кожного наступного трикутника є серединами сторін попереднього (рис. 18.1). Доведіть, що периметри цих трикутників утворюють геометричну прогресію, і запишіть формулу n–го члена цієї прогресії.

Правильний трикутник зі стороною а має периметр Р₁ = 3а; сторони наступного трикутника, як середні лінії даного, вдвічі менші, тому

Р₂ = $\frac{3а}{2}$; периметр наступного ще вдвічі менший – Р₃ = $\frac{3а}{4}$, Р₄ = $\frac{3а}{8}$, …

Формула n–го члена послідовності P_n = $\frac{3a}{2^{n-1}}$.

Розглянемо три довільні послідовності члени b_n–1, b_n і b_n+1.

$b_n^2$ = ($\frac{3a}{2^{n-1}}$)² = $\frac{{9a}^2}{2^{2n-2}}$.

b_n–1 = $\frac{3a}{2^{n-2}}$, b_n+1 = $\frac{3a}{2^n}$, b_n–1 • b_n+1 = $\frac{3a}{2^{n-2}}$ • $\frac{3a}{2^n}$ = $\frac{{9a}^2}{2^{n-2+n}}$ = $\frac{{9a}^2}{2^{2n-2}}$.

Таким чином $b_n^2$ = b_n–1 • b_n+1, а це означає, що послідовність є геометричною прогресією.