Відповіді на вправи: 17.16

17.16. (Стародавня єгипетська задача) Сто мір хліба треба розді–

лити між п’ятьма людьми так, щоб другий отримав на стільки ж

більше за першого, на скільки третій отримав більше за другого,

четвертий більше за третього та п’ятий більше за четвертого.

Окрім того, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше, ніж

троє останніх. Скільки треба дати кожному?

Кількість хліба, яку отримає кожний, складає арифметичну прогресію.

S₅ = 100, n = 5. За умовою 7(а₁ + а₂) = а₃ + а₄ + а₅.

Оскільки S₅ = 100, то $\frac{a_1+a_5}{2}$ • 5 = 0, звідки a₁ + a₅ = 40.

Маємо систему рівнянь:

а₁ + а₅ = 40,

7(а₁ + а₂) = а₃ + а₄ + а₅;

а₁ + a₁ + 4d = 40,

7a₁ +7а₁ +7d = a₁+2d +a₁ +3d + a₁+ 4d;

a₁ + 2d = 20, 2d = 20 – a₁, 2d = 20 – a₁, a₁ = 1$\frac{2}{3}$, a₁ = 1$\frac{2}{3}$,

11а₁ = 2d; 11а₁ = 20 – а₁; 12а₁ = 20; d = $\frac{20-1\frac{2}{3}}{2}$; d = 9$\frac{1}{6}$.

a₂ = 1$\frac{1}{3}$ + 9$\frac{1}{6}$ = 10$\frac{5}{6}$; a₃ = 10$\frac{5}{6}$ + 9$\frac{1}{6}$ = 20; a₄ = 20 + 9$\frac{1}{6}$ = 29$\frac{1}{6}$;

a₅ = 29$\frac{1}{6}$ + 9$\frac{1}{6}$ = 38$\frac{2}{6}$ = 38$\frac{1}{3}$.

Відповідь: 1$\frac{2}{3}$; 10$\frac{5}{6}$; 20; 29$\frac{1}{6}$; 38$\frac{1}{3}$.