Відповіді на вправи: 16.31

16.31. Чи є правильним твердження: якщо довжини сторін опуклого чотирикутника (рис. 16.1), узяті в послідовності a, b, d і c, утворюють арифметичну прогресію, то в цей чотирикутник можна вписати коло?

Нехай a, b, d, с — утворюють арифметичну прогресію, тоді а = a₁,

b = а₁ + m, d = a₁ + 2m, с = a₁ + 3m, де m — різниця прогресії.

В чотирикутник можна вписати коло, якщо а + с = b + d.

Перевіримо це.

a₁ + а₁ + Зm = 2а₁ + Зm; а₁ + m + а₁ + 2m = 2а₁ + 3m.

2а₁ + Зm = 2а₁ + Зm; а + с = b + d. Твердження вірне.