Відповіді на вправи: 16.30

16.30. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії

(a_n), якщо:

1) a₅ + a₁₂ = 41, a₁ + 4d + a₁ + 11d = 41, 2a₁ + 15d = 41, _

a₁₀ + a₁₄ = 62; a₁ + 9d + a₁ + 13d = 62; 2a₁ + 22d = 62;

–7d = –21, d = 3.

2a₁ + 15 • 3 = 41; 2a₁ = –4; a₁ = –2.

Відповідь: a1 = –2, d = 3.

2) a₇ + a₁₃ = –104, a₁ + 6d + a₁ + 12d = –104,

a₂ • a₆ = –240; (a₁ + d) • (a₁ + 5d) = –240;

2a₁ + 18d = –104, a₁ + 9d = –52,

$a_1^2$ + 5a₁d + a₁d + 5d² = –240; $a_1^2$ + 6a₁d + 5d² + 240 = 0;

a₁ = –9d – 52,

(–9d – 52)² + 6d(–9d – 52) + 5d² + 240 = 0;

a₁ = –9d – 52,

81d² + 936d + 2704 – 54d² – 312d + 5d² + 240 = 0;

a₁ = –9d – 52, a₁ = –9d – 52,

32d² + 624d + 2944 = 0; 2d² + 36d + 184 = 0.

2d² + 39d + 184 = 0; D = 1521 – 1472 = 49;

d₁ = $\frac{-39-7}{4}$ = –11,5; d₂ = $\frac{-39+7}{4}$ = –8;

a₁ = –9 • (–11,5) – 52 = 51,5 або a₁ = –9 • (–8) – 52 = 20.

Відповідь: a₁ = 51,5, d = –11,5 або a₁ = 20, d = –8.