Задачі підвищеної складності: 74

74. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до

другого числа додати 2, то вони утворять арифметичну прогресію.

Якщо ж після цього до третього числа додати 16, то прогресія знову стане геометричною. Знайдіть три початкових числа. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до другого числа додати 2, то вони утворять арифметичну прогресію. Якщо ж після цього до третього числа додати 16, то прогресія знову стане геометричною. Знайдіть три початкових числа.

Нехай b₁, b₂, b₃ — члени геометричної прогресі; b₁, b₂ + 2, b₃ — члени арифметичної прогресії, тоді b₁, b₁q + 2, b₁q² + 16 — члени геометричної прогресії.

2(b₁q + 2) = b₁ = b₁q², 2b₁q + 4 = b₁ + b₁q²,

(b₁q + 2)² = b₁ • (b₁q² + 16); b₁q² + 4b₁q + 4 = b12q² + 16b₁;

b₁(q² – 2q + 1) = 4,

b₁(16 – 4q) = 4.

b₁ = 416-4q; b₁ = 14-q, b₁ = 14-q,

q2- 2q+14-q = 4; q² – 2q + 1 = 16 – 4q;

b₁ = 14-q, b₁ = 14-q, q = –5, або q = 3,

q² + 2q – 15 = 0; q = –5 або q = 3; b₁ = 19; b₁ = 1.

Тоді початкові числа: 19; –59; 259 або 1; 3; 9.

Відповідь: 19; –59; 259 або 1; 3; 9.