Задачі підвищеної складності: 72

72. Сума трьох послідовних членів зростаючої арифметичної

прогресії дорівнює 15. Якщо від перших двох її членів відняти по 1, а до третього додати 1, то три отриманих числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть три початкових числа.

Нехай a_n = a + (n – 1)d; a_n+1 = a1 + (n + 1 – 1)d = a₁ + nd;

a_n+2 = a₁ + (n + 2 – 1)d = a₁ + (n + 1)d – три послідовні члена зростаючої арифметичної прогресії, тоді a_n + a_n+1 + a_n+2 = a₁ + (n – 1)d + a₁ + nd + a₁ + (n + 1)d = 3a₂ + (n – 1 + n + n + 1)d = 3a₁ +

+ 3dn.

За умовою 3a₁ + 3dn = 15; a₁ + nd = 5. a_n – 1 = a₁ + (n – 1)d – 1; a_n+1 – 1 = a₁ + nd – 1; a_n+2 + 1 = a₁ + (n + 1)d + 1 – утворюють геометричну прогресію. Скористаємося властивістю членів геометричної прогресії: (a_n–1)² = (a_n – 1)²(aⁿ⁺² – 1)²; (a₁ + nd – 1)² = (a₁ + (n – 1)d – 1)(a₁ + (n + 1)d + 1).

Оскільки a₁ + nd = 5, маємо: 4² = (4 – d)(6 + d); 16 = 24 – 2d – d²; d² + 2d – 8 = 0; d = 2; d = –4 не задовольняє умові задачі оскільки послідовність зростаюча.

Якщо n = 1, a₁ + d = 5; a₁ + 2 = 5; a₁ = 3; a_{3 =} a₁ + d = 3 + 2 = 5; a₃ = a₁ + 2d = 3 + 2 • 2 = 7. Отже, 3; 5; 7 – шукані числа.

Відповідь: 3; 5; 7.