Задачі підвищеної складності: 69

69. Дві геометричні прогресії складаються з однакової

кількості членів. Перший член і знаменник першої прогресії

дорівнюють відповідно 20 і $\frac{3}{4}$, а перший член і знаменник другої відповідно дорівнюють 4 і $\frac{2}{3}$. Якщо перемножити члени цих прогресій з однаковими номерами, то сума всіх добутків дорівнюватиме 158$\frac{3}{4}$.

Знайдіть, скільки членів у цих прогресіях.

Нехай b₁, b₂,…, b_n – геометрична прогресія, в якій, b₁ = 20; q₁ = $\frac{3}{4}$.

c₁, c₂, …, c_n – геометрична прогресія, в якій c₁ = 4; q₂ = $\frac{2}{3}$.

b₁c₁ = 80; b₂c₂ = 40; b₃c₃ = 20, … – отримали геометричну прогресію, в якій перший член дорівнює 80, а знаменник $\frac{1}{2}$.

Тоді маємо: S = $\frac{(1-(\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2}}$; $\frac{80•(1-(\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2}}$ = 158$\frac{3}{4}$; 160 • (1 – ($\frac{1}{2}$)ⁿ) = $\frac{635}{4}$; 640 • (1 – ($\frac{1}{2}$)ⁿ) = 635; 640 – 640($\frac{1}{2}$)ⁿ = 635; 640($\frac{1}{2}$)ⁿ = 5; ($\frac{1}{2}$)ⁿ = $\frac{5}{640}$; ($\frac{1}{2}$)ⁿ = $\frac{1}{128}$; ($\frac{1}{2}$)n = ($\frac{1}{2}$)^7;

Отже, в цих прогресіях по 7 членів.

Відповідь: 7.