Задачі підвищеної складності: 69

69. Дві геометричні прогресії складаються з однакової

кількості членів. Перший член і знаменник першої прогресії

дорівнюють відповідно 20 і 34, а перший член і знаменник другої відповідно дорівнюють 4 і 23. Якщо перемножити члени цих прогресій з однаковими номерами, то сума всіх добутків дорівнюватиме 15834.

Знайдіть, скільки членів у цих прогресіях.

Нехай b₁, b₂,…, b_n – геометрична прогресія, в якій, b₁ = 20; q₁ = 34.

c₁, c₂, …, c_n – геометрична прогресія, в якій c₁ = 4; q₂ = 23.

b₁c₁ = 80; b₂c₂ = 40; b₃c₃ = 20, … – отримали геометричну прогресію, в якій перший член дорівнює 80, а знаменник 12.

Тоді маємо: S = (1-(12 )1- 12; 80•(1-(12 )1- 12 = 15834; 160 • (1 – (12)ⁿ) = 6354; 640 • (1 – (12)ⁿ) = 635; 640 – 640(12)ⁿ = 635; 640(12)ⁿ = 5; (12)ⁿ = 5640; (12)ⁿ = 1128; (12)n = (12)^7;

Отже, в цих прогресіях по 7 членів.

Відповідь: 7.