Задачі підвищеної складності: 65

65. У зростаючій арифметичній прогресії a₁, a₂, a₃, a₄, що

складається із цілих чисел, найбільший член дорівнює сумі

квадратів решти членів. Знайдіть цю прогресію.

Нехай а₁ = х – d, а₂ = х, а₃ = х + d, а₄ = х + 2d.

Тоді (x – d)² + х² + (х + d)² = х + 2d.

х² – 2dх + d² + x² + x² + 2dх + d² – x – 2d = 0;

2d² – 2d + Зх² – х = 0;

D = 4 – 8(3x² – х) = 4 – 24x² + 8х;

D ≥ 0: 24x² – 8х – 4 = 0; 6x² – 2x – 1 = 0;

D₁ = 4 + 24 = 28; x = 2 ± 2812 = 1 ± 76.

1- 76 ≤ x ≤ 1+ 76.

Оскільки х — ціле, то х = 0, 2d² = 2d. Оскільки а₄ — найбільший член, то d ≠ 0, тоді d = 1. Отже, шукані числа –1; 0; 1; 2.

Відповідь: –1; 0; 1; 2.