Задачі підвищеної складності: 64

64. Послідовність чисел 1; 8; 22; 43; ... має ту властивість, що різниці двох сусідніх чисел (наступного й попереднього) утворюють арифметичну прогресію 7; 14; 21; ... . Знайдіть номер члена послідовності, що дорівнює 35 351.

Нехай послідовність а₁, а₂, а₃, ..., а_n має таку властивість, що а₂ – а₁ = d, а₃ – а₂ = 2d, а₄ – а₃ = 3d,…, а_n – а_n–1 = (n – 1)d, де d — різниця арифметичної прогресії. Якщо додати почленно ці рівності, отримаємо a_n – a₁ = d + 2d + 3d + ... + (n – 1)d = dn(n-1)2.

Оскільки а₁ = 1, d = 7, а_n = 35 351, то 35351 – 1 = 7n(n-1)2;

n² – n – 10 100 = 0, звідки n = 101 (n > 0).

Відповідь: 101.