Задачі підвищеної складності: 70

70. У зростаючій геомет ричній прогресії сума першого і останнього членів дорівнює 257, а добуток другого і пере д останнього членів дорівнює 256. Знай діть кількість членів прогресії, якщо їх сума дорівнює 511.

b₁ + b_n = 257, b₁ + b₁ • q^n–1 = 247, b₁ + b₁ • q^n–1 = 257,

b₂ • b_n–1 = 256, b₁q • b₁q^n–2 = 256, b₁q^n–1 = 256,

S_n = 511; b1(qn- 1)q-1 = 511; b1(qn- 1)q-1 = 511.

q^n–1 = 256b12, b₁ + b₁ • 256b12 = 257; оскільки b₁ ≠ 0, то b12 – 257b₁ + 256 = 0, b₁ = 1 або b₁ = 256 – не відповідає умові.

1(qn- 1)q-1 = 511, qn – 1 = 511q – 511,

qn–1 = 256; qn = 256q.

Підставимо значення q_n у перше рівняння: 256q – 1 = 511q – 511; 255q = 510; q = 2. Тоді 2^n–1 = 256; 2^n–1 = 2⁸; n – 1 = 8; n = 9.

Відповідь: 9.