Задачі підвищеної складності: 73

73. Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію,

дорівнює 91. Якщо до цих чисел додати відповідно 25, 27 і 1, то отримаємо три числа, що утворять арифметичну прогресію. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії.

b₁, b₁q, b₁q² – члени геометричної прогресії.

b₁ + 25, b₁q + 27, b₁q² – члени арифметичної прогресії.

b₁ + b₁q + b₁q² = 91, b₁(1 + q + q²) = 91,

2(b₁q + 27) = b₁ + 25 + b₁q² + 1; b₁(q² – 2q + 1) = 28;

b₁ = $\frac{91}{{1+q+q}^2}$,

$\frac{{91(q}^2-2q+1)}{{1+q+q}^2}$ = 28.

З другого рівняння 3q² – 10q + 3 = 0; q₁ = 3, q₂ = $\frac{1}{3}$.

Тоді b₁ = $\frac{91}{1+3+9}$ = $\frac{91}{13}$ = 7 або b₁ = $\frac{91}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}}$ = $\frac{819}{9+3+1}$ = 63.

Звідси b₇ = b₁ • $q_1^6$ = 7 • 3⁶ = 5103 або

b₇ = b₁ • $q_2^6$ = 63 • $\frac{1}{3^6}$ = $\frac{63}{729}$ = $\frac{7}{81}$.

Відповідь: 5103 або $\frac{7}{81}$.