Задачі підвищеної складності: 73

73. Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію,

дорівнює 91. Якщо до цих чисел додати відповідно 25, 27 і 1, то отримаємо три числа, що утворять арифметичну прогресію. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії.

b₁, b₁q, b₁q² – члени геометричної прогресії.

b₁ + 25, b₁q + 27, b₁q² – члени арифметичної прогресії.

b₁ + b₁q + b₁q² = 91, b₁(1 + q + q²) = 91,

2(b₁q + 27) = b₁ + 25 + b₁q² + 1; b₁(q² – 2q + 1) = 28;

b₁ = 911+q+q2,

91(q2- 2q+1)1+q+q2 = 28.

З другого рівняння 3q² – 10q + 3 = 0; q₁ = 3, q₂ = 13.

Тоді b₁ = 911+3+9 = 9113 = 7 або b₁ = 911+ 13+ 19 = 8199+3+1 = 63.

Звідси b₇ = b₁ • q16 = 7 • 3⁶ = 5103 або

b₇ = b₁ • q26 = 63 • 136 = 63729 = 781.

Відповідь: 5103 або 781.