Задачі підвищеної складності: 71

71. Знайдіть усі прогресії, які є одночасно і арифметичними, і геометричними.

Нехай a₁, а₂, а₃,…, а_n, ... — арифметична і геометрична прогресії.

Тоді 2а_k+2 = а_k+1 + а_k+3 або 2a₁q^k+1 = а₁q^k + а₁q^k+2;

а₁q^k – 2q₁q^k+2 + а₁q^k+2 = 0, звідки а¹q^k(1 – 2q + q²) = 0; а₁q^k(1 – q)2 = 0. Отже, якщо а₁q^k ≠ 0, то q = 1 і шукана прогресія — це стала послідовність a₁, a₁, ..., d = 0, q = 1. Якщо a = 0, матимемо 0, 0, 0, ... (d = 0, q — будь–яке число). Якщо q = 0, а ≠ 0 — розв’язків немає.