Задачі підвищеної складності: 59

59. Доведіть, що коли сторони прямокутного трикутника

утворюють арифметичну прогресію, то її різниця дорівнює радіусу кола, вписаного в цей трикутник.

Позначимо АВ = с, ВС = а, АС = b і нехай а < b < с. Якщо d — різниця арифметичної прогресії, то а = b – d, с = b + d. За теоремою Піфагора (b + d)² = b² – (b – d)²;

b² + 2bd + d² = b² – b² + 2bd + d²;

b² = 4bd; b = 4d.

Якщо r — радіус вписаного кола,

СЕ = СF = r, ВЕ = ВD = а – r,

АF = АD = b – r. Отже, с = а + b – 2r.

r = a+b-c2 = 3d+4d-5d2 = d.