Задачі підвищеної складності: 56

56. Послідовність (a_n) – арифметична прогресія з додатними

членами. Доведіть, що сума n перших членів послідовності (x_n) дорівнює:

Нехай a_1, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d,…, a_n + (n – 1)d, a₁ + nd – члени арифметичної прогресії, тоді

x₁ = 1a1+ a2 = 1a1+ a1+d = a1- a1+da1-a1 - d = a1- a1+d-d = a1- a2-d = a2- a1d;

x₂ = a3- a2d, x₃ = a4- a3d, …, x_n = an+1- and, тоді x₁ + x₂ + … x_n = a2- a1- a3- a2+…+ an+1- and = an+1- a1d = (an+1- a1)(an+1+ a1)d(an+1+ a1) = an+1- a1d(an+1+ a1) = a1+ dn- a1d(an+1+ a1) = dnd(an+1+ a1) = nan+1+ a1.