Задачі підвищеної складності: 56

56. Послідовність (a_n) – арифметична прогресія з додатними

членами. Доведіть, що сума n перших членів послідовності (x_n) дорівнює:

Нехай a_1, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d,…, a_n + (n – 1)d, a₁ + nd – члени арифметичної прогресії, тоді

x₁ = $\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_1+d}}$ = $\frac{\sqrt{a_1}-\sqrt{a_1+d}}{a_1-a_1-d}$ = $\frac{\sqrt{a_1}-\sqrt{a_1+d}}{-d}$ = $\frac{\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}}{-d}$ = $\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}$;

x₂ = $\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}$, x₃ = $\frac{\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3}}{d}$, …, x_n = $\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}$, тоді x₁ + x₂ + … x_n = $\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}+\dots +\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}$ = $\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}$ = $\frac{(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}$ = $\frac{a_{n+1}-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}$ = $\frac{a_1+\mathrm{dn}-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}$ = $\frac{\mathrm{dn}}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}$ = $\frac{n}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1}}$.