Задачі підвищеної складності: 55

55. Знайдіть суму n перших членів послідовності (x_n).

x_n = $\frac{1}{n(n+1)}$. Очевидно, що $\frac{1}{n(n+1)}$ = $\frac{1}{n}$ – $\frac{1}{n+1}$.

$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{12}$ + … + $\frac{1}{n(n-1)}$ = (1 – $\frac{1}{2}$) + ($\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{3}$) + ($\frac{1}{3}$ – $\frac{1}{4}$) + … + $\frac{1}{n}$ – $\frac{1}{n+1}$ = 1 – $\frac{1}{n+1}$ = $\frac{n+1-1}{n+1}$ = $\frac{n+1-1}{n+1}$ = $\frac{n}{n+1}$.

Відповідь: $\frac{n}{n+1}$.