Задачі підвищеної складності
Задачі підвищеної складності: 58
Готова відповідь до завдання 58 з ГДЗ Алгебра 9 клас Істер.
Алгебра, 9 клас · Задачі підвищеної складності
Текстова відповідь
58. Доведіть, що коли a, b і c – три послідовних члени арифме–тичної прогресії, то числа a2 + ab + b2, a2 + ac + c2 і b2 + bc + c2 в зазначеному порядку також утворюють арифметичну прогресію.
b = а + d, с = а + 2d.
а2 + аb + b2 = а2 + а(а + d) + (а + d)2 = а2 + а2 + аd + а2 + 2аd + d2 = За2 + 3аd + d2;
а2 + ас + с2 = а2 + а(а + 2d) + (а + 2d)2 = а2 + а2 + 2аd + а2 + 4аd + 4d2 = За2 + 6аd + 4d2;
b2 + bс + с2 = (а + d)2 + (а + d)(а + 2d) + (а + 2d)2 = а2 + 2аd + d2 + а2 + Заd + 2d2 + а2 + 4аd + 4d2 = За2 + 9аd + 7d2;
a2+ ab+ b2+ b2+ bc+ c22 = 3a2+ 3ad+ d2+ 3a2+ 9ad+ 7d22 = За2 + 6аd2 + 4d2 = а2 + ас + с2. Значить, дані числа дійсно утворюють арифметичну прогресію.