Задачі підвищеної складності: 49

49. Андрій, Петро і Сергій, працюючи разом, можуть почистити

відерце картоплі за 12 хв; Андрій, Петро і Юрій – за 15 хв, а Сергій і Юрій – за 20 хв. За скільки хвилин почистять картоплю хлопці, працюючи вчотирьох?

Нехай Андрій і Петро виконують за 1 хвилину $\frac{1}{х}$ частину роботи Сергій – $\frac{1}{у}$, а Юрій – $\frac{1}{z}$ частину. Тоді за умовою:

$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$,

$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$, + $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$,

$\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$; $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{15}$; $\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{20}$ = $\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{15}$; $\frac{2}{x}$ = $\frac{1}{10}$;

$\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{20}$,

$\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{30}$, $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{30}$,

$\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{30}$; $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{20}$ – $\frac{1}{30}$; $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{60}$.

$\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{60}$ = $\frac{6}{60}$ = $\frac{1}{10}$. Отже, працюючи разом, хлопці виконають роботу за 10 хвилин.

Відповідь: 10 хвилин.