Задачі підвищеної складності: 4

4. Доведіть, що коли x ≥ y, то:

1) х³ – y³ ≥ х²у – у²х;

x³ – у³ – (х²у – y²х) = (х – у)(х² + ху + у²) – ху(х – у) = (х – у)(х² + ху + y² – ху) = (х – y)(х² + у²) ≥ 0, якщо x ≥ у.

2) x⁵ – у⁵ ≥ х⁴у – ху⁴. х⁵ – у⁵ – х⁴у + ху⁴ = (х⁵ – x⁴y) + (ху⁴ – y⁵) = х⁴(х – у) + y⁴(х – у) = (х – y)(x⁴ + y⁴) ≥ 0 при x ≥ у.